Menghafal Kaedah Schröder Sebagai Strategi Cekap Untuk Menganggar Punca Kepelbagaian Tidak Diketahui

Abstrak:

Dalam kertas kerja ini, kami mencadangkan, sepanjang pengetahuan kami, skema berulang pertama dengan ingatan untuk mencari akar yang kepelbagaiannya tidak diketahui wujud dalam kesusasteraan. Ia meningkatkan kecekapan prosedur yang serupa tanpa ingatan disebabkan oleh Schröder dan boleh dianggap sebagai benih untuk menjana kaedah peringkat tinggi dengan ciri yang serupa. Setelah susunan penumpuannya dikaji, kestabilannya dianalisis menunjukkan sifatnya yang baik, dan ia dibandingkan secara berangka dari segi lembangan tarikannya dengan skema yang serupa tanpa ingatan untuk mencari punca berbilang.

Ingatan adalah bahagian penting dalam kecerdasan manusia dan keperluan untuk pembelajaran, pemikiran, penciptaan, dan kehidupan manusia. Tetapi ramai orang mendapati bahawa ingatan mereka tidak mencukupi dan mereka sering melupakan perkara penting. Kualiti ingatan berkait rapat dengan lelaran ingatan.

Apa yang dipanggil lelaran ingatan merujuk kepada pengukuhan dan penyatuan ingatan yang berterusan dalam proses pembelajaran berulang titik pengetahuan atau kemahiran tertentu, dan akhirnya berubah menjadi ingatan jangka panjang. Proses ini bukan sahaja membantu menyatukan ingatan tetapi juga meningkatkan kuantiti dan kualitinya.

Jadi, bagaimana untuk mengulang ingatan dengan baik? Pertama sekali, adalah perlu untuk memahami sepenuhnya kandungan pembelajaran. Hanya dengan kefahaman yang mendalam ilmu itu dapat benar-benar terpahat dalam minda dan mengelak daripada lupa. Kedua, teruskan mengulangkaji. Mengkaji berulang kali pengetahuan yang dipelajari, membantu otak untuk memperdalam tanggapan pengecaman pengetahuan, penaakulan, dan pemahaman, dengan itu meningkatkan ingatan jangka panjang. Akhir sekali, gunakan pelbagai kaedah untuk membantu mengulang ingatan. Contohnya, anda boleh menjadikan ingatan anda lebih mendalam dengan membuat peta minda, menceritakan semula, dsb.

Ringkasnya, ingatan berulang adalah proses yang kompleks dan penting yang memerlukan usaha dan ketekunan yang berterusan. Hanya dengan menganggap ingatan berulang sebagai cara hidup dan menyepadukannya ke dalam semua aspek pembelajaran harian, kerja dan kehidupan, kita boleh terus meningkatkan ingatan kita, membolehkan diri kita lebih baik menghadapi pembelajaran yang kompleks dan cabaran kerja, dan menunjukkan gaya peribadi baharu. Pes daging adalah bahan perubatan tradisional Cina yang mempunyai banyak kesan unik, salah satunya adalah meningkatkan daya ingatan. Keberkesanan daging cincang berasal dari pelbagai bahan aktif yang terkandung di dalamnya, termasuk asid karboksilik, polisakarida, flavonoid, dll. Bahan-bahan ini boleh menggalakkan kesihatan otak melalui pelbagai saluran.

Klik tahu 10 cara untuk meningkatkan ingatan

Kata kunci:

Persamaan tak linear; kaedah berulang dengan ingatan; berbilang akar; bebas derivatif; kecekapan; kestabilan.

1. Pengenalan

Terdapat dalam kesusasteraan (lihat, sebagai contoh, Rujukan [1–8]) banyak kaedah lelaran tanpa ingatan, melibatkan atau tidak derivatif, direka untuk menganggarkan punca berbilang bagi persamaan tak linear f(x)=0, tetapi kebanyakan mereka memerlukan pengetahuan tentang kepelbagaian m akar-akar ini.

Adalah diketahui bahawa kaedah Schröder [9]:

dengan menjadi parameter sebenar, memerlukan 4 penilaian fungsi setiap langkah dan tidak lagi bebas derivatif. Kaedah Traub-Steffensen pada g ini terlalu mahal dan tidak dipertimbangkan lagi.

Kelebihan utama skema Schröder ialah kebebasannya terhadap pengetahuan tentang kepelbagaian fungsi tak linear, berbeza dengan kaedah Newton yang diubah suai untuk pelbagai punca,

di mana m ialah kepelbagaian , yang mesti diketahui dalam kes ini. Skim ini juga disebabkan oleh Schröder (juga lihat Rujukan [9]), dan kami menandakannya dengan SM2. Skim ini adalah konvergen tertib kedua dan, oleh itu, optimum, dalam erti kata sangkaan Kung-Traub, (kerana ia menggunakan dua penilaian berfungsi baharu setiap lelaran; lihat Rujukan [10]). Walau bagaimanapun, ia memerlukan pengetahuan tentang kepelbagaian, manakala SM1 tidak menggunakannya; namun begitu, kelemahan utama skim SM1 ialah kecekapannya yang rendah, kerana ia perlu menilai tiga fungsi tak linear (f(x), f 0 (x) dan f 00(x)) setiap lelaran.

Matlamat kami dalam manuskrip ini adalah dua kali ganda: dari satu pihak, kami ingin meningkatkan kecekapan skim SM1, dengan mengekalkan keupayaannya untuk mencari pelbagai punca kepelbagaian m tanpa mengetahui m dan, dari sisi lain, untuk digabungkan dalam algoritma yang sama keupayaan untuk mencari berbilang punca dengan menggunakan lebih daripada satu lelaran sebelumnya. Jadi, kami mencadangkan skema berulang dengan ingatan untuk menganggarkan berbilang punca kepelbagaian yang tidak diketahui. Setakat yang kita tahu, dalam literatur tidak ada prosedur berulang yang memenuhi sifat-sifat ini.

Dalam analisis penumpuan skema yang dicadangkan, beberapa aspek mesti diambil kira, kerana ia adalah kaedah berulang dengan ingatan jadi ralat dalam beberapa lelaran sebelumnya mesti dipertimbangkan dan kepelbagaian akar m juga harus menjadi elemen utama. daripada demonstrasi, walaupun nilai khususnya tidak diketahui. Mengenai fakta ini, perlu diperhatikan bahawa f (q) ( ) {{0}} untuk q=1, 2, . . . , m − 1 dan f (m) ( ) 6= 0. Jadi, pengembangan Taylor sekitar f dan f 0 yang muncul dalam ungkapan berulang harus mengambil kira maklumat ini.

Sebaliknya, kerana skema yang dicadangkan kami ialah prosedur berulang yang menggunakan tiga lelaran sebelumnya untuk mengira yang seterusnya, adalah perlu untuk menyatakan persamaan ralat dari segi ralat sepadannya dan, daripadanya, untuk menyimpulkan susunan penumpuannya. Ini dibuat menggunakan hasil klasik oleh Ortega dan Rheinboldt [11], yang dibentangkan di bawah.

Teorem 1. Biarkan ψ ialah kaedah lelaran dengan ingatan yang menjana jujukan {xk} penghampiran kepada punca , dan biarkan jujukan ini menumpu kepada . Jika wujud pemalar bukan sifar η dan nombor positif ti, i=0, 1, . . . , m, supaya ketaksamaan

Dalam manuskrip ini, Bahagian 2 ditumpukan kepada reka bentuk dan analisis penumpuan kaedah lelaran bebas derivatif yang dicadangkan dengan ingatan untuk mencari punca berbilang (tanpa pengetahuan kepelbagaiannya). Dalam Bahagian 3, kestabilannya dianalisis untuk menyimpulkan pergantungannya pada anggaran awal untuk kedua-dua punca mudah dan berbilang. Dalam Bahagian 4, prestasi berangka kaedah disemak pada beberapa fungsi ujian, sedang dianalisis, serta lembangan daya tarikan yang sepadan, berbanding dengan kaedah Schröder sedia ada.

2. Analisis Reka Bentuk dan Konvergensi

Titik permulaan kami ialah skema bebas derivatif dengan ingatan disebabkan oleh Traub [12],

Kelebihan utama skim ini ialah keupayaannya untuk mencari punca mudah, serta berbilang, bagi fungsi tak linear tanpa pengetahuan tentang kepelbagaian, dengan kecekapan yang lebih baik daripada SM1. Sudah tentu, dengan menggunakan indeks kecekapan Ostrowski [13], ISM1=2 1 3 ≈ 1.25992 adalah lebih rendah daripada IgTM=1.841 2 ≈ 1.35647, di mana setiap indeks saya dikira sebagai p 1 d, dengan p menjadi susunan penumpuan kaedah, dan d jumlah penilaian fungsi baharu setiap lelaran.

Dalam bahagian seterusnya, analisis dinamik dibuat pada skema ini, untuk menunjukkan prestasi kualitatifnya pada akar mudah dan berbilang. Memandangkan ia adalah kaedah berulang dengan ingatan, dinamik sebenar pelbagai dimensi mesti digunakan.

3. Kajian Kualitatif Kaedah Lelaran yang Dicadangkan dengan Ingatan untuk Akar Berbilang

Mari kita nyatakan bahawa kaedah kami menggunakan tiga lelaran sebelumnya untuk menghasilkan yang berikut; oleh itu, ia boleh dinyatakan secara umum a

dengan x0, x−1, dan x−2 ialah anggaran awal. Menggunakan prosedur yang ditakrifkan dalam Rujukan [14], kaedah ini boleh digambarkan sebagai sistem dinamik multidimensi sebenar diskret, dan tingkah laku kualitatifnya boleh dianalisis.

Prestasi kualitatif sistem dinamik mempunyai elemen utama dalam pencirian titik tetapnya, dari segi kestabilan. Untuk mengira titik tetap 1 SF Υ, fungsi vektor tambahan M: R3 −→ R3 boleh ditakrifkan, berkaitan dengan 1 SF Υ menggunakan:

Selain itu, jika wujud nilai eigen λi bagi matriks Jacobian M{{0}} yang dinilai pada titik tetap x ∗ memuaskan |λi|< 1 dan satu lagi λj supaya |λj|> 1, maka, x ∗ dipanggil titik tetap pelana. Sebagai lanjutan kepada konsep dalam dinamik satu dimensi, jika nilai eigen M0 (x ∗ ) memenuhi |λj |=0 untuk semua nilai j=1, 2, . . . , m, maka, titik tetap x ∗ bukan sahaja menarik tetapi juga terlalu menarik. Oleh itu, kaedah ini mempunyai penumpuan kuadratik, sekurang-kurangnya pada kelas fungsi tak linear yang memperoleh fungsi rasional (lihat Rujukan [12]).

Dengan mempertimbangkan x ∗ titik tetap menarik M, lembangan tarikannya A(x ∗ ) ditakrifkan sebagai set praimej bagi sebarang susunan

Prestasi kualitatif skema lelaran berbeza yang direka untuk menyelesaikan persamaan tak linear dengan berbilang punca telah dikaji oleh pengarang yang berbeza (lihat, sebagai contoh, Rujukan [17-19]). Ia telah dibuat dengan menggunakan dinamik kompleks diskret, kerana semua skema ini tanpa ingatan. Dalam kajian ini, didapati bahawa, apabila kaedah lelaran (tanpa ingatan) direka untuk mencari punca berbilang bertindak pada fungsi tak linear dengan kedua-dua punca ringkas dan berbilang, adalah kebiasaan bahawa lembangan tarikan akar ringkas adalah lebih sempit daripada yang mempunyai banyak akar. Sememangnya, akar-akar mudah tersebut boleh menentukan titik tetap bagi fungsi rasional yang menjijikkan. Oleh itu, kaedah berulang harus dapat mencari hanya beberapa punca.

Analisis kualitatif berikut dibuat pada p(x)=(x + 1)(x − 1) m, m Lebih besar daripada atau sama dengan 1 supaya keupayaan skema untuk mencari kedua-dua mudah dan berbilang punca (dengan multiplicity m) diuji.

Alat yang sangat berguna untuk menggambarkan hasil analisis ialah satah dinamik sistem, yang terdiri daripada satu set lembangan tarikan yang berbeza. Di sini, satah dinamik kaedah gTM yang dicadangkan dibina dengan mengira orbit jaringan 800 × 800 titik permulaan (z, x) untuk nilai tetap w dalam grid permulaan. Oleh kerana skema lelaran perlu dimulakan dengan tiga anggaran awal, kami menjana jaringan satah dinamik, setiap satu daripadanya dengan nilai tetap w dalam selang [-1.75, 1.75]. Dalam potret fasa ini, setiap titik jejaring dicat dalam warna yang berbeza (oren dan hijau dalam kes ini), bergantung pada penarik yang mereka tumpu (ditandakan sebagai bintang putih), dengan toleransi 10−3. Di samping itu, ia kelihatan dalam warna hitam jika orbit belum mencapai sebarang titik tetap yang menarik dalam maksimum 500 lelaran. Apabila nilai tetap w diubah dalam vektor nilai kepunyaan [−1.75, 1.75], ia menghasilkan komposisi angka untuk setiap kepelbagaian, menimbulkan sejenis plot kontur.

Dalam Rajah 1, kami menunjukkan prestasi skema gTM pada p(x), iaitu operator rasional TM untuk punca mudah. Memerhati tingkah laku untuk plot yang berbeza dengan tiga lelaran pertama yang berbeza setiap satu dalam [−2, 2], kebolehlaksanaan yang stabil diperhatikan. Lembangan tarikan akar adalah satu-satunya; ia adalah luas, dan satu-satunya prestasi yang berbeza (lebih baik daripada yang lain dari segi kesederhanaan sempadan antara lembangan) ialah kes w=0, di mana fungsi rasional dipermudahkan. Dalam semua kes, diperhatikan bahawa satu-satunya tingkah laku kaedah gTM yang mungkin adalah penumpuan kepada akar.

Sebaliknya, dalam Rajah 2, kami menunjukkan prestasi yang hampir sama apabila salah satu daripada akar adalah dua kali ganda, dan satu lagi adalah mudah. Lembangan tarikan adalah sama luas, dan tingkah laku ini sangat serupa apabila kepelbagaian lain telah diterokai. Di samping itu, dalam kes ini dapat dilihat bahawa hanya terdapat penumpuan kepada akar, kerana kawasan yang lebih gelap mempunyai penumpuan yang lebih perlahan, disebabkan oleh kerumitan sempadan lembangan tarikan yang lebih tinggi.

4. Prestasi Berangka dan Ujian Dinamik

Dalam bahagian ini, kita membandingkan tiga kaedah, iaitu SM2 (memerlukan pengetahuan tentang kepelbagaian), SM1, dan gTM (diperolehi daripada kaedah Traub). Dua kaedah terakhir tidak memerlukan pengetahuan tentang kepelbagaian, tetapi ia memerlukan penilaian fungsi tambahan setiap langkah lelaran (tiga dalam kes SM1, dua dalam kes gTM).

Kaedah tersebut dibandingkan secara kualitatif melalui lembangan angka tarikan dan secara kuantitatif melalui beberapa langkah. Langkah-langkah ini ialah masa jalan CPU untuk menjalankan kaedah pada titik dalam petak 6 kali 6 berpusat di asal. Kami membahagikan segi empat sama dengan garis mendatar dan menegak yang diedarkan secara seragam dan mengambil semua titik persilangan sebagai titik awal untuk proses lelaran.

Untuk TM, kaedah dengan ingatan, kami perlu mengambil dua titik permulaan tambahan x−1=x0 + d dan x−2=x0 + 2d, dengan d ialah jarak garisan. Kriteria lain yang dikumpul oleh kod ialah purata bilangan lelaran setiap titik (AIPP), tetapi, memandangkan kaedah memerlukan bilangan penilaian fungsian yang berbeza setiap langkah, kami mengambil purata bilangan fungsi setiap titik (AFPP). Kriteria ketiga ialah bilangan titik divergen (DP), iaitu bilangan titik yang kaedah tidak menumpu dalam 40 lelaran menggunakan toleransi 10−7.

Berdasarkan Rajah 3, jelas menunjukkan bahawa SM1 dan SM2 mempunyai lembangan yang serupa, dan gTM mempunyai lebih banyak lobus pada sempadan antara dua lembangan. Daripada Rajah 4, kami mendapati bahawa gTM lebih baik daripada SM1. Dalam 3 angka seterusnya, gTM adalah yang terbaik, dengan lembangan tarikan yang lebih luas dan kawasan hitam yang lebih sempit tanpa penumpuan kepada akar. Persembahan ini diadakan walaupun untuk fungsi bukan polinomial f5. Selain itu, dalam Rajah 8, dapat diperhatikan bahawa lembangan tarikan kaedah SM2 adalah lebih luas daripada kaedah gTM kami.

Kami kini merujuk kepada data dalam Jadual 1–3. Masa jalan CPU dalam saat diberikan dalam Jadual 2. SM2 secara konsisten lebih pantas daripada yang lain. Jika kepelbagaian tidak diketahui, maka gTM adalah lebih pantas daripada SM1, kecuali untuk contoh pertama. Secara purata, gTM lebih pantas daripada SM1.

Purata bilangan penilaian fungsi setiap titik (lihat Jadual 2) adalah yang tertinggi untuk SM1 untuk semua contoh. Ambil perhatian bahawa contoh terakhir adalah yang paling sukar untuk semua kaedah. Bilangan titik divergen adalah yang paling rendah untuk gTM bagi contoh 1, 3 dan 4. SM1 mempunyai mata yang paling berbeza untuk 6 contoh pertama, tetapi, dalam contoh terakhir, gTM berprestasi buruk dan menjadi tempat ketiga secara keseluruhan. Kaedah SM2 adalah yang terbaik, secara purata, untuk 3 kategori diikuti oleh gTM untuk 2 kategori.

5. Kesimpulan

Skim lelaran baharu dengan ingatan dengan keupayaan untuk mencari punca mudah dan berbilang (tanpa perlu mengetahui kepelbagaiannya) telah dibina. Ia adalah, setakat yang kita tahu, kaedah pertama dengan sifat-sifat ini dalam kesusasteraan. Susunan penumpuannya telah terbukti kira-kira 1.84 dengan dua penilaian fungsian baharu setiap lelaran; ini menghasilkan skema untuk meningkatkan kecekapan skim Schröder tanpa memori SM1, yang mempunyai sifat yang serupa. Menggunakan dinamik diskret sebenar berbilang dimensi dan polinomial darjah rendah dengan punca mudah dan berbilang, kestabilan skema yang dicadangkan telah dianalisis, menunjukkan kawasan penumpuan yang luas kepada kedua-dua jenis akar.

Dalam bahagian terakhir, kaedah Schröder dan gTM yang dijalankan pada beberapa contoh telah membolehkan kami membuat kesimpulan bahawa, jika kepelbagaian diketahui terlebih dahulu, maka, SM1 dan gTM tidak boleh bersaing, walaupun gTM lebih baik daripada SM1. Walau bagaimanapun, apabila kepelbagaian tidak diketahui, kaedah gTM yang dicadangkan menunjukkan prestasi yang sangat baik dan kecekapan yang lebih baik daripada kaedah SM1, dari segi masa pelaksanaan, kos pengiraan, dan keluasan lembangan tarikan.

Sumbangan Pengarang:

Pengkonsepan, AC dan JRT; metodologi, BN; perisian, AC dan BN; pengesahan, BN; analisis formal, JRT; penyiasatan, AC; penulisan—penyediaan draf asal, AC dan BN; menulis—menyemak dan menyunting, JRT; penyeliaan, BN dan JRT Semua pengarang telah membaca dan bersetuju dengan versi terbitan manuskrip tersebut.

Pembiayaan:

Penyelidikan ini sebahagiannya disokong oleh PGC2018-095896-B-C22 (MCIU/AEI/FEDER, UE).

Kenyataan Persetujuan Termaklum:

Tidak berkaitan.

Penghargaan:

Penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada pengulas tanpa nama atas cadangan dan komen mereka yang telah menambah baik versi akhir manuskrip ini.

Konflik Kepentingan:

Penulis mengisytiharkan tiada konflik kepentingan.

Rujukan

1. Petkovi´c, M.; Neta, B.; Petkovi'c, L.; Džuni´c, J. Kaedah Berbilang Titik untuk Menyelesaikan Persamaan Tak Linear; Akhbar Akademik: Oxford, UK, 2013.

2. Amat, S.; Busquier, S. Kemajuan dalam Kaedah Lelaran untuk Persamaan Tak Linear; SEMA SIMAI Springer Siri 10; Springer: Cham, Switzerland, 2016.

3. Behl, R.; Cordero, A.; Torregrosa, JR Skim bebas derivatif optimum peringkat tinggi baharu untuk berbilang punca. J. Pengiraan. Appl. Matematik. 2021, 113773, dalam akhbar. [CrossRef]

4. Kumar, S.; Kumar, D.; Sharma, JR; Cesarano, C.; Aggarwal, P.; Chu, YM Algoritma berangka bebas terbitan tertib keempat yang optimum untuk berbilang punca. Simetri 2020, 12, 1038. [CrossRef]

5. Akram, S.; Akram, F.; Junjua, M.; Arshad, M.; Afzal, T. Keluarga fungsi lelaran tertib kelapan yang optimum untuk berbilang punca dan dinamiknya. J. Matematik. 2021, 77, 1249–1272.

6. Sharma, JR; Arora, H. Satu keluarga kaedah lelaran tertib kelima untuk mencari punca berbilang bagi persamaan tak linear. Nombor. dubur. Appl. 2021, 14, 186–199. [CrossRef]

7. Kumar, S.; Kumar, D.; Sharma, JR; Argyros, IK Kelas cekap kaedah bebas terbitan tertib keempat untuk berbilang punca. Int. J. Sains Tak Linear. Nombor. Simul. 2021. [CrossRef]

8. Zafar, F.; Cordero, A.; Torregrosa, JR Keluarga kaedah tertib keempat yang optimum untuk berbilang punca persamaan tak linear. Matematik. Kaedah Appl. Sci. 2020, 43, 7869–7884. [CrossRef]

9. Schröder, E. Über unendlich viele Algorithmen zur Auflösung der Gleichungen. Matematik. Ann. 1870, 2, 317–365. [CrossRef]

10. Kung, HT; Traub, JF Susunan optimum lelaran satu titik dan berbilang titik. J. Prof. Pengiraan. Mach. 1974, 21, 643–651. [CrossRef]

11. Ortega, JM; Rheinboldt, Penyelesaian Lelaran WC bagi Persamaan Tak Linear dalam Beberapa Pembolehubah; Akhbar Akademik: Cambridge, MA, Amerika Syarikat, 1970.

12. Traub, JF Kaedah Lelaran untuk Penyelesaian Persamaan; Prentice-Hall: Hoboken, NJ, Amerika Syarikat, 1964.

13. Ostrowski, AM Penyelesaian Persamaan dan Sistem Persamaan; Akhbar Akademik: New York, NY, Amerika Syarikat; London, UK, 1966.

14. Campos, B.; Cordero, A.; Torregrosa, JR; Vindel, P. Pendekatan dinamik berbilang dimensi kepada kaedah lelaran dengan ingatan. Appl. Matematik. Pengiraan. 2015, 271, 701–715. [CrossRef]

15. Devaney, RL Pengenalan kepada Sistem Dinamik Chaotic; Kemajuan dalam Matematik dan Kejuruteraan; CRC Press: Boca Raton, FL, USA, 2003.

For more information:1950477648nn@gmail.com